Las claves del programa matemático español en la respuesta de la IA a uno de los ‘problemas del milenio’

En los últimos días, dos equipos distintos de matemáticos y expertos en inteligencia artificial han anunciado construcciones que apuntan a resolver formalmente algunos de los grandes problemas abiertos de las matemáticas: mostrar si las ecuaciones que describen el movimiento de los fluidos, garantizan siempre un comportamiento regular y predecible, o si, por el contrario, pueden fallar en algún momento. Uno de los dos resultados se apoya en una estrategia matemática desarrollada en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) por Diego Córdoba, profesor de investigación del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), y Luis Martínez-Zoroa, profesor de CUNEF Universidad, para estudiar las ecuaciones de los fluidos. El segundo también reconoce estos trabajos en sus antecedentes.

Las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes describen cómo se mueve un fluido, como el agua, el aceite o el aire, a partir de las leyes básicas de la física. Se usan hoy para predecir el tiempo, diseñar aviones o estudiar inundaciones. Pero, pese a dos siglos de uso práctico, hay muchas preguntas fundamentales sobre ellas que siguen sin respuesta. Una de ellas plantea si, partiendo de la descripción de un fluido en reposo o con un movimiento suave, puede desarrollarse, con el tiempo, un punto en el que el fluido se comporta de forma extremadamente brusca (una singularidad). Esto pasaría si, por ejemplo, en un flujo de agua que avanza tranquilo en una tubería, de repente, se formase un remolino con velocidad infinita.

La solución de estas ecuaciones es, sencillamente, la velocidad del fluido en cada punto del espacio y en cada momento del tiempo. Así que cuando se busca una solución que "desarrolle una singularidad", se trata de encontrar una situación de partida (un dato inicial) y demostrar que, con el tiempo, da lugar a un instante en el que esa velocidad, en algún punto, deja de tener límite y se dispara hasta el infinito.

Se sabe que en fluidos de dos dimensiones (como una finísima película de agua que se desplaza en una superficie) esto nunca ocurre. En tres, es decir, en un fluido real que se mueve en el espacio, como el agua que sale de un grifo o el aire que envuelve el ala de un avión, seguía siendo una incógnita. Esta pregunta, en el caso en el que considere un fluido con viscosidad (que son las ecuaciones de Navier-Stokes), es uno de los seis grandes retos de la matemática que la Fundación Clay seleccionó en el año 2000, con un premio de un millón de dólares para quien lo solucionase, es la que OpenAI ha anunciado ahora resuelta. Afirman haber encontrado una singularidad en las ecuaciones. Esto no dice tanto sobre el mundo físico como sobre las ecuaciones mismas: revela que, en circunstancias muy específicas, el modelo deja de poder describir el movimiento del fluido a partir de cierto instante.

El enfoque que se apartó del camino dominante

Diego Córdoba y su antiguo estudiante de doctorado Luis Martínez-Zoroa llevan cerca de una década trabajando en estas cuestiones, con un mecanismo propio basado en herramientas matemáticas clásicas, lápiz y papel, al que han llamado cascada de capas de vorticidad.

"La idea consiste en construir el fluido mediante una sucesión infinita de capas de vorticidad, cada vez más pequeñas y concentradas. Cada capa, considerada por separado, es perfectamente regular y no produce ninguna singularidad. Sin embargo, están diseñadas para interactuar de una manera muy precisa: las de mayor escala generan una deformación del fluido que amplifica a las siguientes, situadas en escalas más pequeñas", explican Córdoba y Martínez-Zoroa. "Es parecido a una sucesión de engranajes: el primero pone en marcha al segundo, este acelera al tercero, y así sucesivamente. Las capas se activan en intervalos de tiempo cada vez más cortos, que se acumulan en un instante final. Antes de ese instante, la solución sigue siendo clásica y suave; al llegar a él, la amplificación acumulada hace que alguna magnitud, como la velocidad, se vuelva infinita, aunque la energía total continúe siendo finita", ejemplifican.

Frente a otros métodos que buscaban la singularidad en un escenario más rígido (con mucha simetría, por ejemplo), la estrategia de los matemáticos españoles "permitía construir un mecanismo de amplificación más flexible, no autosimilar y localizado en el espacio completo, sin paredes que ayudasen a concentrar el fluido", explican.

"Han realizado un trabajo extraordinario. Diego Córdoba lleva toda una carrera trabajando en la frontera del conocimiento sobre las ecuaciones de los fluidos y, a lo largo de los años, ha formado en el ICMAT un grupo y una escuela de primer nivel internacional. Luis Martínez-Zoroa, que se formó en ese grupo, es sin duda uno de los mejores matemáticos de su generación, con un presente y un futuro brillantes", señala el director del ICMAT, Javier Aramayona. "Para el ICMAT es motivo de gran satisfacción, y confirma la apuesta del instituto por la investigación de largo recorrido en problemas fundamentales", valora.

Una sucesión de modelos para aislar cada dificultad

El germen de este programa se remonta a la tesis doctoral de Martínez-Zoroa, dirigida por Córdoba en el ICMAT y en sus trabajos conjuntos a partir de 2021. "La idea verdaderamente disruptiva fue cambiar la pregunta. En lugar de intentar descubrir una única solución especial que explotase, decidimos fabricar la singularidad a partir de infinitas soluciones regulares, organizadas de manera que cada una amplificase a la siguiente. No se trata de una búsqueda ciega por prueba y error, sino de diseñar de antemano cómo debe interactuar cada capa con las demás para que, en conjunto, produzcan la singularidad", indican Córdoba y Martínez-Zoroa.

En 2023 aplicaron con éxito este mecanismo a las ecuaciones de Euler, que describen un fluido que, a diferencia de las de Navier-Stokes, no tiene fricción interna, demostrando que ese sistema podía desarrollar una singularidad de forma explícita (un resultado aún no publicado en revista). También lo han empleado para estudiar la ecuación del medio poroso incompresible, con resultados todavía en fase de preprint, y a una versión hipodisipativa de las ecuaciones de Navier-Stokes, en un trabajo junto con Fan Zheng publicado en Archive for Rational Mechanics and Analysis. "No lo aplicamos de inmediato al problema completo de Navier-Stokes: fuimos acercándonos a él mediante una sucesión de modelos en los que podíamos aislar y comprender cada dificultad", relatan Córdoba y Martínez-Zoroa.

En estas construcciones previas, la singularidad en la solución aparecía bajo una fuerza externa concreta actuando sobre el fluido. Pero construir la singularidad no basta: hay que hacerlo sin que la propia fuerza que actúa sobre el fluido se vuelva infinita en el proceso. Al llegar a ese instante, varios de los términos de la ecuación (los que miden aceleración, presión o rozamiento) crecen sin límite por separado; si no se cancelan entre sí con precisión, esa fuerza divergente delataría que la explosión viene de fuera, no del propio fluido. "El desafío era construir una velocidad que se hiciese singular y conseguir, al mismo tiempo, que todos los términos divergentes se cancelasen, de manera que la fuerza y todas sus derivadas permaneciesen suaves", explican. Alcanzar una fuerza así de regular en las condiciones exactas del Problema del Milenio era el obstáculo que seguía abierto.

La base reconocida por los equipos de IA

"Tristan Buckmaster y Levent Alpöge tomaron explícitamente nuestro programa como punto de partida y, con una ayuda muy importante de Claude y de diferentes versiones de Codex, consiguieron extenderlo a fuerzas suaves para ciertas ecuaciones de los fluidos (IPM, Boussinesq y Euler tridimensional)", relatan Córdoba y Martínez-Zoroa. "Por otro lado, OpenAI lanzó miles de agentes de IA trabajando en paralelo. Después de obtener primero un resultado para Euler, concentraron aproximadamente 10.000 agentes en Navier-Stokes. Según OpenAI, los agentes necesitaron unas 88 horas para producir la demostración y GPT-6 Astra empleó otras 17 horas en formalizarla en Lean".

Antes del anuncio de OpenAI, Buckmaster había ido más allá al valorar públicamente la aportación española. "En vista de este trabajo, creo que Luis Martínez-Zoroa merece la Medalla Fields", escribía en un comunicado publicado en su página web.

Los resultados de OpenAI y de Buckmaster y Alpöge han sido formalizados mediante el asistente de demostración Lean, que certifica que la cadena de deducciones es lógicamente correcta y ofrece así un primer indicio de que el resultado es válido, pero aún no han pasado por el proceso de revisión por pares habitual en la comunidad matemática. Córdoba y Martínez-Zoroa insisten en mantener la cautela. "Existe una demostración pública y una formalización en Lean, pero un resultado de esta magnitud debe todavía ser leído cuidadosamente, comprendido y validado por la comunidad matemática".

Nueva era de la investigación matemática

"Lo sucedido muestra que entramos en una etapa de la investigación matemática completamente nueva", reflexionan Córdoba y Martínez-Zoroa. "La idea original (organizar una singularidad como una cascada infinita de mecanismos regulares) fue una idea humana, surgida de años de trabajo, de intentos fallidos y de comprensión profunda de las ecuaciones. Pero las IA han mostrado una capacidad extraordinaria para explorar miles de variantes, efectuar cálculos inmensos, descubrir cancelaciones y completar arquitecturas técnicas que para unas pocas personas podían requerir muchos años. Creemos que la combinación más poderosa será precisamente esa: creatividad humana para formular escenarios nuevos unida a la capacidad de las máquinas para explorar, calcular, comprobar y formalizar".

Y añaden una advertencia: "Tendremos que repensar la autoría, la atribución de las ideas, la formación de los jóvenes matemáticos y el modo de evaluar una prueba que puede ser formalmente correcta pero todavía muy difícil de comprender".

Aramayona subraya precisamente la importancia de la comprensión en el proceso de investigación: "La inteligencia artificial está modificando ya algunos de los procesos de la investigación matemática, y es probable que lo haga de forma continuada y profunda. Ahora bien, las matemáticas van mucho más allá de la resolución de problemas: consisten en comprender en profundidad las estructuras y las teorías, en saber qué preguntas merecen plantearse", concluye.

El ICMAT

El Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) es un centro mixto del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) y tres universidades de Madrid: Autónoma (UAM), Carlos III (UC3M) y Complutense (UCM). El ICMAT realiza investigación puntera en diversas áreas de las matemáticas y, desde 2011, ha sido acreditado cuatro veces consecutivas como Centro de Excelencia Severo Ochoa. Sus investigadores han obtenido trece ayudas del Consejo Europeo de Investigación (ERC), en las modalidades Starting, Consolidator y Advanced.

ICMAT Comunicación

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Luis Martínez-Zoroa y Diego Córdoba. / Laura M. Iraola/ICMAT

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